單一樣本柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫適合度檢定 (One Sample Kolmogorov-Smirnov Goodness of fit test)

套路49: 單一樣本柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫適合度檢定
(One Sample Kolmogorov-Smirnov Goodness of fit test)

1. 使用時機: 單一樣本柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫適合度檢定用來分析數據之分佈型(distribution)。
2. 分析類型: 無母數分析(non-parametric analysis)。
3. 單一樣本柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定前提假設: 無。
4. 範例資料: 某研究在一棵25公尺高的樹幹的不同高度(m)觀察到某種蛾。資料如下：
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
高度
1.4
2.6
3.3
4.2
4.7
5.6
6.4
7.7
9.3
10.6
11.5
12.4
18.6
22.3
蛾數
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
試問蛾在樹上不同高度的分布是否為均勻分布(uniform distribution)?
H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布。HA: 蛾在樹上不同高度的分布不是均勻分布。

5. 使用R計算單一樣本柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定，方法一:
第一步: 安裝EnvStats程式套件。
第二步: 呼叫EnvStats程式套件備用。
  library(EnvStats)
第三步: 輸入建立資料。
  y <- c(1.4, 2.6, 3.3, 4.2, 4.7, 5.6, 6.4, 7.7, 9.3, 10.6, 11.5, 12.4, 18.6, 22.3)
第四步: 使用EnvStats程式套件的gofTest函數代入y計算柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定。
  gofTest(y~1, test = "ks", distribution = "unif", alternative = "two.sided")
  # y~1只有一組樣本(one-sample test)。
  # test = "ks" 執行柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定。
  # distribution = "unif" 檢定的是資料是否為均勻分布(uniform distribution)。
第五步: 判讀結果。
Results of Goodness-of-Fit Test
-------------------------------
Test Method:                     Kolmogorov-Smirnov GOF
Hypothesized Distribution:          Uniform
Estimated Parameter(s):            min = 1.4
                                   max = 22.3
Estimation Method:               mle
Data:                           y
Sample Size:                     14
Test Statistic:                     ks = 0.3308271
Test Statistic Parameter:            n = 14
P-value:                         0.07241889
Alternative Hypothesis:            True cdf does not equal the Uniform Distribution.
Warning message:
In ksGofTest(x = c(1.4, 2.6, 3.3, 4.2, 4.7, 5.6, 6.4, 7.7, 9.3,  :
  The standard Kolmogorov-Smirnov test is very conservative (Type I error smaller than assumed; high Type II error) for testing departures from the Uniform distribution when you have to estimate the distribution parameters.
  # P-value < 0.05，H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布，不成立。
  # P-value > 0.05，H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布，成立。

6. 使用R計算單一樣本柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定，方法二:
第一步: 安裝dgof程式套件。
第二步: 呼叫dgof程式套件備用。
  library(dgof)
第三步: 輸入建立資料。
  x <- c(1.4, 2.6, 3.3, 4.2, 4.7, 5.6, 6.4, 7.7, 9.3, 10.6, 11.5, 12.4, 18.6, 22.3)
第四步: 使用dgof程式套件的ks.test函數代入y計算柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定。
  dgof::ks.test(x, punif, alternative = "two.sided", exact = TRUE, tol = 1e-8,
 simulate.p.value = TRUE, B = 2000)
  # dgof::ks.test 基本模組(base)也有ks.test函數，為了區別，再函數名稱前加程式套件dgof::。
  # x只有一組樣本(one-sample test)。
  # punif 檢定的是資料是否為均勻分布(uniform distribution)。
  # exact = TRUE, simulate.p.value = TRUE, B = 2000估計p值。
第五步: 判讀結果。
        One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  x
D = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sided
  # p < 0.05，H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布，不成立。
  # p > 0.05，H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布，成立。

7. 使用R計算單一樣本柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定，方法三:
第一步: 安裝kolmim程式套件。
第二步: 呼叫kolmim程式套件備用。
  library(kolmim)
第三步: 輸入建立資料。
  x <- c(1.4, 2.6, 3.3, 4.2, 4.7, 5.6, 6.4, 7.7, 9.3, 10.6, 11.5, 12.4, 18.6, 22.3)
第四步: 使用kolmim程式套件的ks.test.imp函數代入x計算柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定。
  ks.test.imp(x, punif)
  # x只有一組樣本(one-sample test)。
  # punif 檢定的是資料是否為均勻分布(uniform distribution)。
第五步: 判讀結果。
        One-sample two-sided exact Kolmogorov-Smirnov test
data:  x
D = 1, p-value = 2.22e-16
alternative hypothesis: two-sided
  # p < 0.05，H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布，不成立。
  # p > 0.05，H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布，成立。

8. 使用R計算單一樣本柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定，方法四:
第一步: 輸入建立資料。
  x <- c(1.4, 2.6, 3.3, 4.2, 4.7, 5.6, 6.4, 7.7, 9.3, 10.6, 11.5, 12.4, 18.6, 22.3)
第二步: 使用基本模組(base)中的ks.test函數代入x計算柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定。
  stats::ks.test(x, punif, alternative = "two.sided", exact = TRUE)
  # x只有一組樣本(one-sample test)。
  # punif 檢定的是資料是否為均勻分布(uniform distribution)。
  # exact = TRUE估計p值
第三步: 判讀結果。
        One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  x
D = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sided
  # p < 0.05，H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布，不成立。
  # p > 0.05，H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布，成立。

來勁了嗎? 想知道更多?? 補充資料(連結):
1. 關於Andrey Kolmogorov (https://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Kolmogorov)
2. 關於Nikolai Smirnov (https://en.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Smirnov_(mathematician))
3. 關於Goodness of fit (https://en.wikipedia.org/wiki/Goodness_of_fit)
4. 柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗計算公式 (https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov%E2%80%93Smirnov_test)
5. 關於R基礎，R繪圖及統計快速入門:
   a. R Tutorial: https://www.tutorialspoint.com/r/index.htm
   b. Cookbook for R: http://www.cookbook-r.com/
   c. Quick-R: https://www.statmethods.net/
   d. Statistical tools for high-throughput data analysis (STHDA): http://www.sthda.com/english/
e. The Handbook of Biological Statistics: http://www.biostathandbook.com/
f. An R Companion for the Handbook of Biological Statistics: http://rcompanion.org/rcompanion/index.html
6. Zar, JH. 2010. Biostatistical Analysis, Fifth Edition, Pearson.

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