肯德爾一致性係數 (Kendall's coefficient of concordance; Kendall's W)

套路40: 肯德爾一致性係數 (Kendall's coefficient of concordance)

1. 使用時機: 肯德爾一致性係數是用以反映多組變數之間關係密切程度的統計指標。
2. 分析類型: 無母數分析(non-parametric analysis)。直接使用資料數值算統計叫parametric方法，把資料排序之後用排序的名次算統計叫non-parametric方法。
3. 肯德爾一致性係數前提假設: 無。
4. 範例資料: 某研究測量鳥類的翅長、尾長及喙長(cm)。資料如下：
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
翅長
10.4
10.8
11.1
10.2
10.3
10.2
10.7
10.5
10.8
11.2
10.6
11.4
尾長
7.4
7.6
7.9
7.2
7.4
7.1
7.4
7.2
7.8
7.7
7.8
8.3
喙長
17
17
20
14.5
15.5
13
19.5
16
21
20
18
22
5. 使用R計算肯德爾一致性係數，方法一:
第一步: 安裝DescTools程式套件。
第二步: 呼叫DescTools程式套件備用。
  library(DescTools)
第三步: 輸入建立資料。
  v1 <- c(10.4, 10.8, 11.1, 10.2, 10.3, 10.2, 10.7, 10.5, 10.8, 11.2, 10.6, 11.4)
  v2 <- c(7.4, 7.6, 7.9, 7.2, 7.4, 7.1, 7.4, 7.2, 7.8, 7.7, 7.8, 8.3)
  v3 <- c(17, 17, 20, 14.5, 15.5, 13, 19.5, 16, 21, 20, 18, 22)
  m <- matrix(rbind(v1,v2,v3), nrow = 12, byrow = TRUE)
  m
  # 利用rbind函數合併v1、v2及v3三組vector，再利用matrix函數將資料轉成7 x 2的矩陣放到變數m中。結果如下:
      [,1] [,2] [,3]
 [1,] 10.4  7.4 17.0
 [2,] 10.8  7.6 17.0
 [3,] 11.1  7.9 20.0
 [4,] 10.2  7.2 14.5
 [5,] 10.3  7.4 15.5
 [6,] 10.2  7.1 13.0
 [7,] 10.7  7.4 19.5
 [8,] 10.5  7.2 16.0
 [9,] 10.8  7.8 21.0
[10,] 11.2  7.7 20.0
[11,] 10.6  7.8 18.0
[12,] 11.4  8.3 22.0
第四步: 使用DescTools程式套件的KendallW函數代入m計算肯德爾一致性係數。
  KendallW(m, correct = TRUE, test = TRUE)
  # correct = TRUE資料中有一樣大的數值(tied data)，計算需作修正(corrected for ties)。
  # test = TRUE估計肯德爾一致性係數的p値。
第五步: 判讀結果。
        Kendall's coefficient of concordance Wt
data:  m
Kendall chi-squared = 30.496, df = 11, subjects = 12, raters = 3,
p-value = 0.001324
alternative hypothesis: Wt is greater 0
sample estimates:
       Wt   0.9241352   # 肯德爾一致性係數 = 0.9241352
  # H0: 翅長、尾長及喙長三個變數無關。HA: 翅長、尾長及喙長三個變數有關。
  # p > 0.05，H0: 翅長、尾長及喙長三個變數無關，成立。
  # p < 0.05，H0: 翅長、尾長及喙長三個變數無關，不成立。
6. 使用R計算肯德爾一致性係數，方法二:
第一步: 安裝irr程式套件。
第二步: 呼叫irr程式套件備用。
  library(irr)
第三步: 輸入建立資料。
  v1 <- c(10.4, 10.8, 11.1, 10.2, 10.3, 10.2, 10.7, 10.5, 10.8, 11.2, 10.6, 11.4)
  v2 <- c(7.4, 7.6, 7.9, 7.2, 7.4, 7.1, 7.4, 7.2, 7.8, 7.7, 7.8, 8.3)
  v3 <- c(17, 17, 20, 14.5, 15.5, 13, 19.5, 16, 21, 20, 18, 22)
  m <- matrix(rbind(v1,v2,v3), nrow = 12, byrow = TRUE)
  m
  # 利用rbind函數合併v1、v2及v3三組vector，再利用matrix函數將資料轉成7x2的矩陣放到變數m中。結果如下:
      [,1] [,2] [,3]
 [1,] 10.4  7.4 17.0
 [2,] 10.8  7.6 17.0
 [3,] 11.1  7.9 20.0
 [4,] 10.2  7.2 14.5
 [5,] 10.3  7.4 15.5
 [6,] 10.2  7.1 13.0
 [7,] 10.7  7.4 19.5
 [8,] 10.5  7.2 16.0
 [9,] 10.8  7.8 21.0
[10,] 11.2  7.7 20.0
[11,] 10.6  7.8 18.0
[12,] 11.4  8.3 22.0
第四步: 使用irr程式套件的kendall函數代入m計算肯德爾一致性係數。
  kendall(m, correct = TRUE)
  # correct = TRUE資料中有一樣大的數值(tied data)，計算需作修正(corrected for ties)。
第五步: 判讀結果。
Kendall's coefficient of concordance Wt
 Subjects = 12
   Raters = 3
        Wt = 0.924    # 肯德爾一致性係數 = 0.924
Chisq(11) = 30.5
   p-value = 0.00132
  # H0: 翅長、尾長及喙長三個變數無關。HA: 翅長、尾長及喙長三個變數有關。
  # p > 0.05，H0: 翅長、尾長及喙長三個變數無關，成立。
  # p < 0.05，H0: 翅長、尾長及喙長三個變數無關，不成立。
7. 使用R計算肯德爾一致性係數，方法三:
第一步: 安裝vegan程式套件。
第二步: 呼叫vegan程式套件備用。
  library(vegan)
第三步: 輸入建立資料。
  v1 <- c(10.4, 10.8, 11.1, 10.2, 10.3, 10.2, 10.7, 10.5, 10.8, 11.2, 10.6, 11.4)
  v2 <- c(7.4, 7.6, 7.9, 7.2, 7.4, 7.1, 7.4, 7.2, 7.8, 7.7, 7.8, 8.3)
  v3 <- c(17, 17, 20, 14.5, 15.5, 13, 19.5, 16, 21, 20, 18, 22)
  m <- matrix(rbind(v1,v2,v3), nrow = 12, byrow = TRUE)
  m
  # 利用rbind函數合併v1、v2及v3三組vector，再利用matrix函數將資料轉成7x2的矩陣放到變數m中。結果如下:
      [,1] [,2] [,3]
 [1,] 10.4  7.4 17.0
 [2,] 10.8  7.6 17.0
 [3,] 11.1  7.9 20.0
 [4,] 10.2  7.2 14.5
 [5,] 10.3  7.4 15.5
 [6,] 10.2  7.1 13.0
 [7,] 10.7  7.4 19.5
 [8,] 10.5  7.2 16.0
 [9,] 10.8  7.8 21.0
[10,] 11.2  7.7 20.0
[11,] 10.6  7.8 18.0
[12,] 11.4  8.3 22.0
第四步: 使用vegan程式套件的kendall.global函數代入m計算肯德爾一致性係數。
  Kendall.global(m, nperm = 999, mult = "holm")
  # nperm = 999 permutations次數。
  # mult = "holm" 估計p值。
第五步: 判讀結果。
$Concordance_analysis
               Group.1
W         9.241352e-01     # 肯德爾一致性係數 = 0.9241352
F         2.436269e+01
Prob.F    2.687208e-09
Chi2      3.049646e+01
Prob.perm 1.000000e-03
attr(,"class")
[1] "kendall.global"
  # H0: 翅長、尾長及喙長三個變數無關。HA: 翅長、尾長及喙長三個變數有關。
  # p > 0.05，H0: 翅長、尾長及喙長三個變數無關，成立。
  # p < 0.05，H0: 翅長、尾長及喙長三個變數無關，不成立。

來勁了嗎? 想知道更多?? 補充資料(連結):
1. 關於Maurice Kendall (https://en.wikipedia.org/wiki/Maurice_Kendall)
2. 關於correlation coefficient (https://en.wikipedia.org/wiki/Correlation_coefficient)
3. 肯德爾一致性係數計算公式 (https://en.wikipedia.org/wiki/Kendall%27s_W)
4. 關於R基礎，R繪圖及統計快速入門:
   a. R Tutorial: https://www.tutorialspoint.com/r/index.htm
   b. Cookbook for R: http://www.cookbook-r.com/
   c. Quick-R: https://www.statmethods.net/
   d. Statistical tools for high-throughput data analysis (STHDA): http://www.sthda.com/english/
e. The Handbook of Biological Statistics: http://www.biostathandbook.com/
f. An R Companion for the Handbook of Biological Statistics: http://rcompanion.org/rcompanion/index.html
5. Zar, JH. 2010. Biostatistical Analysis, Fifth Edition, Pearson.

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