卡方適合度檢定 (Chi-square Goodness of fit test)

套路46: 卡方適合度檢定 (Chi-square Goodness of fit test)

1. 使用時機:卡方適合度檢定用來分析數據之分佈型(distribution)或符合某種比例。
2. 分析類型: 母數分析(parametric analysis)。
3. 使用R計算卡方適合度檢定範例一:
某研究在一棵25公尺高的樹幹的不同高度(m)觀察到某種蛾。資料如下：
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
高度
1.4
2.6
3.3
4.2
4.7
5.6
6.4
7.7
9.3
10.6
11.5
12.4
18.6
22.3
蛾數
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
試問蛾在樹上不同高度的分布是否為均勻分布(uniform distribution)?
H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布。HA: 蛾在樹上不同高度的分布不是均勻分布。

第一步: 安裝EnvStats程式套件。
第二步: 呼叫EnvStats程式套件備用。
  library(EnvStats)
第三步: 輸入建立資料。
  y <- c(1.4, 2.6, 3.3, 4.2, 4.7, 5.6, 6.4, 7.7, 9.3, 10.6, 11.5, 12.4, 18.6, 22.3)
第四步: 使用EnvStats程式套件的gofTest函數代入y計算卡方適合度檢定。
  gofTest(y~1, test = "chisq", distribution = "unif", alternative = "two.sided")
  # y~1只有一組樣本(one-sample test)。
  # test = "chisq" 執行單一樣本卡方適合度檢定。
  # distribution = "unif" 檢定的是資料是否為均勻分布(uniform distribution)。
第五步: 判讀結果。
Results of Goodness-of-Fit Test
-------------------------------
Test Method:                    Chi-square GOF
Hypothesized Distribution:         Uniform
Estimated Parameter(s):            min =  1.4
                                   max = 22.3
Estimation Method:               mle
Data:                           y
Sample Size:                    14
Test Statistic:                    Chi-square = 5.714286
Test Statistic Parameter:           df = 3
P-value:                        0.1263692
Alternative Hypothesis:           True cdf does not equal the Uniform Distribution.
  # P-value < 0.05，H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布，不成立。
  # P-value > 0.05，H0: 蛾在樹上不同高度的分布是均勻分布，成立。

4. 使用R計算卡方適合度檢定範例二:
夢得爾葛格計數黃色圓皮、黃色皺皮、綠色圓皮及綠色皺皮碗豆，資料如下：
性狀
黃色圓皮
黃色皺皮
綠色圓皮
綠色皺皮
總數
觀察值
152
39
53
6
250
期望值
(9/16) x 250
(3/16) x 250
(3/16) x 250
(1/16) x 250

試問黃色圓皮、黃色皺皮、綠色圓皮及綠色皺皮碗豆比例是否為9:3:3:1?
H0: 黃色圓皮、黃色皺皮、綠色圓皮及綠色皺皮碗豆比例為9:3:3:1。
HA: 黃色圓皮、黃色皺皮、綠色圓皮及綠色皺皮碗豆比例不是9:3:3:1。

第一步: 閱讀基本模組(base)中stats程式套件的chisq.test函數的說明書。
  help(chisq.test)
第二步: 輸入建立資料。
  x <- c(152,39,53,6)
第三步: 使用stats程式套件的chisq.test函數代入x及期望值。
  chisq.test(x, p = c(9/16, 3/16, 3/16, 1/16), correct = FALSE)
  # p = c(9/16, 3/16, 3/16, 1/16)比例期望值，加總需等於1。
  # p = c(9, 3, 3, 1)不行，因為比例期望值加總需等於1。
  # correct = FALSE項目超過兩項，自由度大於1，不做葉慈修正
第四步: 判讀結果。
        Chi-squared test for given probabilities
data:  x
X-squared = 8.9724, df = 3, p-value = 0.02966
  # p-value < 0.05，H0: 黃色圓皮、黃色皺皮、綠色圓皮及綠色皺皮碗豆比例為9:3:3:1，不成立。
  # p-value > 0.05，H0: 黃色圓皮、黃色皺皮、綠色圓皮及綠色皺皮碗豆比例為9:3:3:1，成立。

5. 使用R計算卡方適合度檢定範例三:
咪路調查大一到大四男生的人數得到資料如下:
年級
大一
大二
大三
大四
總數
男生
32
43
36
39
150
試問四個年級的男生佔全部男生的比例(p1、p2、p3及p4)是否相同?
H0: p1 = p2 = p3 = p4。
HA: 四個年級的男生比例不完全相同。

第一步: 閱讀基本模組(base)中的chisq.test函數的說明書。
  help(chisq.test)
第二步: 輸入建立資料。
  x <- c(32/150, 43/150, 36/150, 39/150)
第三步: 使用基本模組(base) 中的chisq.test函數代入x及期望值。
  chisq.test(x, p = c(1/4, 1/4, 1/4, 1/4))
  # 假設四組比例相同，因此比例期望值設定p = c(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)。
  # p = c(1, 1, 1, 1)不行，因為比例期望值加總需等於1。
第四步: 判讀結果。
        Chi-squared test for given probabilities

data:  x
X-squared = 0.011556, df = 3, p-value = 0.9997
  # p-value < 0.05，H0: p1 = p2 = p3 = p4，不成立。
  # p-value > 0.05，H0: p1 = p2 = p3 = p4，成立。

6. 注意1，有另一種狀況是利用卡方分析(proportion test)比較三個以上的比值是否相同，如下列範例所示(勿與範例三混淆):
咪路調查大一到大四抽菸的人數得到資料如下:
年級
大一
大二
大三
大四
抽菸人數
32
43
16
9
調查人數
87
108
80
25
試問四個年級抽菸的人數比例(p1、p2、p3及p4)是否相同?
H0: p1 = p2 = p3 = p4。
HA: 四個年級抽菸的人數比例不完全相同。

第一步: 閱讀基本模組(base)中的prop.test函數的說明書。
  help(prop.test)
第二步: 輸入建立資料。
  smokers <- c(32, 43, 16, 9)
  students <- c(87, 108, 80, 25)
第三步: 使用stats程式套件的chisq.test函數代入x及期望值。
  prop.test(smokers, students, alternative = "two.sided")
第四步: 判讀結果。
        4-sample test for equality of proportions without continuity correction
data:  smokers out of students
X-squared = 8.9872, df = 3, p-value = 0.02946
alternative hypothesis: two.sided
sample estimates:
   prop 1    prop 2    prop 3    prop 4
0.3678161 0.3981481 0.2000000 0.3600000
  # p-value < 0.05，H0: p1 = p2 = p3 = p4，不成立。
  # p-value > 0.05，H0: p1 = p2 = p3 = p4，成立。

7. 注意2，有一種狀況是只有兩項(degree of freedom = 1)時需做葉慈修正(Yates' correction)，如下列範例所示:
夢得爾葛格計數黃色及綠色碗豆，資料如下：:
黃色
綠色
總數
碗豆數
84
16
100
試問黃色及綠色碗豆比例是否為3:1?
H0: 黃色及綠色碗豆比例為3:1。
HA: 黃色及綠色碗豆比例不是3:1。

第一步: 閱讀基本模組(base)中的chisq.test函數的說明書。
  help(chisq.test)
第二步: 輸入建立資料。
  x <- c(84, 16)
第三步: 使用stats程式套件的chisq.test函數代入x及期望值。
  chisq.test(x, p = c(3/4, 1/4), correct = TRUE)
  # p = c(3/4, 1/4)比例期望值，加總需等於1。
  # p = c(3, 1)不行，因為比例期望值加總需等於1。
  # correct = TRUE葉慈修正。
  # simulate.p.value = TRUE, B = 2000估計p值。
第四步: 判讀結果。
        Chi-squared test for given probabilities
data:  x
X-squared = 4.32, df = 1, p-value = 0.03767
  # p-value < 0.05，H0: 黃色及綠色碗豆比例為3:1，不成立。
  # p-value > 0.05，H0: 黃色及綠色碗豆比例為3:1，成立。

來勁了嗎? 想知道更多?? 補充資料(連結):
1. 關於Karl Pearson (https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Pearson)
2. 關於Goodness of fit (https://en.wikipedia.org/wiki/Goodness_of_fit)
3. 關於Pearson's chi-squared test (https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson%27s_chi-squared_test)
4. 關於R基礎，R繪圖及統計快速入門:
   a. R Tutorial: https://www.tutorialspoint.com/r/index.htm
   b. Cookbook for R: http://www.cookbook-r.com/
   c. Quick-R: https://www.statmethods.net/
   d. Statistical tools for high-throughput data analysis (STHDA): http://www.sthda.com/english/
e. The Handbook of Biological Statistics: http://www.biostathandbook.com/
f. An R Companion for the Handbook of Biological Statistics: http://rcompanion.org/rcompanion/index.html
5. Zar, JH. 2010. Biostatistical Analysis, Fifth Edition, Pearson.

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